Franck Weber realizó estudios de posgrado en derecho de propiedad intelectual y nuevas tecnologías (universidad Paris XI-Sceaux), y comenzó su carrera profesional junto a Agnès Varda (Ciné-Tamaris) como responsable de producción de 1995 a 2000, donde fue responsable tanto de la producción y la distribución como del patrimonio y la restauración de las películas de Agnès, y también de Jacques Demy.
En el año 2000, se unió a Canal+, donde ejerció sucesivamente como redactor jefe web de cine (canal plus.fr y AlloCiné), encargado de adquisiciones (Canal International Acquisitions) y responsable editorial de cine de Canal+.
En 2007, fue nombrado director de adquisiciones de cine francés de Canal+, cargo que ejerció hasta 2015.
En mayo de 2015, Franck Weber se unió a Gaumont y, desde entonces, desempeña la función de director de desarrollo de cine.
