Als Inhaber eines D.E.S.S. im Studiengang Droit de la Propriété Intellectuelle et Nouvelles Technologies (Paris XI-Sceaux) begann Franck Weber seine berufliche Laufbahn bei Agnes Varda (Cine-Tamaris), wo er von 1995 bis 2000 als Produktionsleiter tätig war und sich sowohl mit der Produktion als auch mit dem Vertrieb und der Restaurierung der Filme von Agnes und Jacques Demy befasste.
Im Jahr 2000 wechselte er zu Canal+, wo er nacheinander die Posten des Redakteurs und Chefs des Web-Cinéma (canalplus.fr und AlloCiné), des Akquisiteurs (Canal International Acquisitions) und des Redaktionsleiters Cinéma des Senders Canal+ innehatte.
Im Jahr 2007 wurde er zum Leiter der Acquisitions Cinéma Français von Canal+ ernannt, ein Posten, den er bis 2015 innehatte.
Im Mai 2015 wechselte Franck Weber zu Gaumont, wo er seither die Funktion des Directeur du Développement Cinéma ausübt.